【이차함수】 1분만에 이해하기 | 공식, 계산, 그래프, 평행이동

이차함수는  y = ax² + bx + c로 나타내는 함수입니다. 변수 x가 2차인 식이라고 생각해 주세요. 이차함수는 정점을 가지는 포물선을 그리는 함수이기도 합니다. 

 

여기서는 이차함수의 의미, 공식, 계산, 그래프, 평행이동과의 관계에 대해서 설명합니다. 

 

 

이차함수(2차함수)란?

 

 

이차(2차)란?

 

이차함수(2차함수)의 2차는 변수 x의 차수가 2차인 것을 의미합니다. 

 

 

 

y = ax² + bx + c에서 a, b, c는 정수이고 a는 0이외의 값을 가집니다(a가 0이되면 ax²이 0이 되어서 일차함수가 되어버리니까요).

 

b = c = 0 때는  y = ax²이 됩니다. y=0일 때 x=0이 되어서 원점(0, 0)을 꼭지점으로 하는 포물선을 그리게 됩니다. 

 

 

함수란?

 

함수란 집합 x와 집합 y의 원소의 대응 관계를 나타내는 식을 말합니다.

 

예를 들어서 y = x² 이라는 이차함수는 아래와 같이 집합 x와 집합 y 원소 간의 대응을 나타내고 있는 것입니다(y=ax²에서 a가 1인 이차함수이네요). 

 

 

 

포물선이란?

 

이차함수의 그래프는 항상 '포물선' 형태입니다. 포물선이란 꼭지점을 지나는 선이고 이 꼭지점을 기준으로 좌우 모양이 대칭되는 형태를 가집니다. 

 

이차함수로 y = x² 으로 표현한 x집합과 y집합의 대응관계를 점으로 표시해서 이으면 아래와 같은 포물선 모양이 됩니다. 

 

y = ax² + bx + c에서 b나 c가 0이 아닌 경우(b≠c≠0)는 원점을 지나지 않은 포물선을 그립니다. 

 

 

 

 

이차함수(2차함수) 공식과 계산

 

 

이차함수(2차함수)의 공식은 이미 소개했지만 한 번 더 볼까요?

 

 

정수 a, b, c의 값이 정해지면 x를 대입해서 y의 값을 계산할 수 있습니다. y=0일 때는

 

ax² + bx + c = 0

 

입니다. 미지수 x를 구하는 경우 이차방정식의 근의 공식을 사용해서 계산하면 편리합니다. 

 

이차방정식 근의 공식

 

 

이차함수(2차함수) 그래프

 

이차함수 ax² + bx + c = 0  의 그래프는 a의 부호에 따라서 꼭지점이 향하는 방향이 달라집니다(이차함수는 a≠0입니다).

 

a > 0  : 꼭지점의 방향은 아래(⇩)

a < 0  : 꼭지점이 방향의 위(⇧)

 

 

 

 

 

이차함수(2차함수) 평행이동

 

원점(0, 0)이 꼭지점인 이차함수 y = ax²을 x축으로 +3 이동시킵니다. 

 

평행이동을 한 2차함수는 x = 3일 때 y = 0이 됩니다. 따라서 이차함수의 식은 

 

y = a(x - 3)²

 

이 됩니다. 

 

 

 

이차함수(2차함수) 정리

 

이차함수는 y = ax² + bx + c로 나타내는 함수입니다. 변수 x의 최고 차수가 2차인 함수라고 기억해주세요. a가 0이 되어버리면 일차함수가 되어버리기 때문에 a는 0이외의 값을 가집니다. 

 

b=c=0일 때는 y=ax²라는 이차함수가 되어서 원점(0, 0)을 꼭지점으로 가지는 포물선을 그립니다. 

 

근의 공식을 활용하면 미지수 x를 편하게 구할 수 있고 식을 조절해서 x축으로 평행이동도 시킬 수 있습니다. 

 

 

 

 

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